Поэтому я хочу, чтобы from поля, когда открывалось письмо, было чем-то вроде 
  "Jack Sparrow Via somesite" в отличие от явного адреса электронной почты. 
  Мне интересно, как установить это в функции mail() PHP? 
Вы можете выполнить это, используя основные заголовки.
 <?php $to = 'nobody@example.com'; $subject = 'the subject'; $message = 'hello'; $headers = 'From: Jack Sparrow <jsparrow@blackpearl.com>' . PHP_EOL . 'Reply-To: Jack Sparrow <jsparrow@blackpearl.com>' . PHP_EOL . 'X-Mailer: PHP/' . phpversion(); mail($to, $subject, $message, $headers); ?> 
Вы должны установить свои заголовки:
 $to = "Someone@email.com"; $header = "FROM: Jack Sparrow <some@site.com>\r\n"; $message = "Your message here."; $subject = "Your subject"; mail($to,$subject,$message,$header) or die(); 
просто используйте это
 $headers .= 'From: [Name of the person]'.'<'. $this->from .'>'. "\n"; 
в разделе заголовка.
Я точно не знаю, что вы имеете в виду, но, как вы можете видеть в функции PHP.net mail .
  Чтобы добавить имя в раздел, вам необходимо отправить его в заголовки. From:Name<email@example.com> 
Если вы используете PHP Mailer из GitHub, то вы делаете это:
 $mail->SetFrom("info@mibckerala.org", "MIBC");